razones que decriben cada tipo de movimiento trigonometrico

La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a una función u(x,t) que satisface:

Donde es el laplaciano y donde es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de 343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo.
Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a este fenómeno se le conoce como dispersión. En este caso, deberá ser remplazado por la velocidad de fase:

Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:

También hay que considerar que una onda puede ser transmitida en un portador móvil (Por ejemplo la propagación del sonido en el flujo de un gas). En tal caso el escalar u contendrá un Número Mach (el cual es positivo para la onda que se mueva a lo largo del flujo y negativo para la onda reflejada).
La ecuación de onda elástica en tres dimensiones describe la propagación de onda en un medio elástico homogéneo isótropo. La mayoría de los materiales sólidos son elásticos, por lo que esa ecuación describe fenómenos tales como ondas sísmicas en la Tierra y las ondas de ultrasonido usadas para determinar defectos en los materiales. Aunque sea lineal, esta ecuación tiene una forma más compleja que las ecuaciones dadas arriba, porque debe tomar en cuenta los movimientos longitudinales y transversales.

En un espacio de varias dimensiones

Una solución de la ecuación de onda en dos dimensiones con una condición de frontera de cero desplazamiento a lo largo de todo el borde exterior.

La teoría del valor de frontera inicial unidimensional puede ampliarse a un número arbitrario de dimensiones espaciales. Considere un dominio D en un espacio x de m dimensiones, con frontera B. Entonces la ecuación de onda será satisfecha si x está en D y . En la frontera B, la solución u deberá satisfacer

donde n es la normal unitaria a B que apunta hacia afuera y a es una función no negativa definida sobre B. El caso en donde u desaparece en B es un caso límite cuando a se acerca al infinito. Las condiciones iniciales son

donde f y g son definidos en D. Este problema puede ser solucionado mediante la expansión de f y g en las funciones propias del Laplaciano en D, que cumplan las condiciones de frontera. Así, la función propia v satisface

en D, y

en B.
En el caso de un espacio de dos dimensiones, las funciones propias pueden interpretarse como los modos de vibración de una membrana extendida sobre la frontera B. Si B es un círculo, entonces estas autofunciones tienen una componente angular que es una función trigonométrica del ángulo polar θ, multiplicado por una función de Bessel (de orden entero) del componente radial. Mayores detalles se encuentran en la ecuación de Helmholtz.
Si la frontera es una esfera en un espacio de tres dimensiones, las componentes angulares de las funciones propias son armónicos esféricos, y los componentes radiales son funciones de Bessel de orden semientero.

La ecuación de onda no homogénea en una dimensión

La ecuación de onda no homogénea en una dimensión es la siguiente:

con condiciones iniciales dadas por

La función es llamada también la función fuente debido a que en la práctica describe los efectos de las fuentes de onda en el medio que las porta. Ejemplos físicos de funciones fuente incluyen la fuerza motriz de una onda sobre una cuerda, o la densidad de carga o corriente en la condición de Lorenz de electromagnetismo.
Un método para resolver el problema de valor inicial (con los valores iniciales que se plantearon arriba) es aprovecharse de las propiedades de la ecuación de onda cuyas soluciones la obedecen causalmente. Es decir, para cualquier punto , el valor de sólo depende de los valores de y y los valores de la función entre y . Esto puede observarse en la fórmula de d'Alembert, como se ha señalado anteriormente, donde estas cantidades son las únicas que aparecen en ella. Físicamente, si la máxima velocidad de propagación es , entonces ninguna parte de la onda que no pueda propagarse a un determinado punto en un momento dado puede afectar a la amplitud en el mismo punto y tiempo.
En términos de encontrar una solución, estas propiedades causales dan a entender que para cualquier punto dado en la línea que se está considerando, la única área que necesita ser considerada es el área que abarque a todos los puntos que podrían afectar causalmente el punto que se está considerando. Designando el área que afecta causalmente al punto como . Supongamos que integramos la ecuación de onda no homogénea sobre esta región.

Para simplificar esto en gran medida, podemos usar el teorema de Green en el lado izquierdo y así obtener lo siguiente:

La parte izquierda es ahora la suma de tres integrales de línea a lo largo de las fronteras de la región de causalidad. Estas resultan ser bastante fáciles de calcular